Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = \Bigl(\dfrac{ (2n)! }{n! n^n} \Bigr)^{1/n}\]


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[ID: 2018] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 143
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Considérer \(v_n = \ln u_n = \dfrac{1}{n}\bigl[ \ln(2n!) - \ln(n!) - n \ln n\bigr]\). On a \[\begin{aligned} v_n &= \dfrac{1}{n}\bigl[ \sum_{k=n+1}^{2n} \ln k - n\ln n\bigr] \\ &= \dfrac{1}{n} \sum_{p=0}^{n-1} \ln\bigl( 1 + {\scriptstyle p+1\over\scriptstyle n} \bigr) \end{aligned}\] Par conséquent, \(v_n\) est une somme de Riemann qui converge vers \(I = \int_0^1 \ln(1 + x)\mathrm{ \;d}x\) (la fonction est continue sur \([0, 1]\)). Grâce à une intégration par parties, on calcule \(\boxed{ I = 2\ln 2 - 1}\). La limite de \(u_n\) est donc \(\dfrac4e\).


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