Trouver un équivalent de la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{\sqrt{n(k^2+n^2)}}{n}\]


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[ID: 2016] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 715
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in \mathbb N\). Écrivons \(u_n\) en faisant apparaître le groupement \(k/n\) : \[u_n = \sqrt{n}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sqrt{(k/n)^2 + 1} = \sqrt{n} v_n\]\(v_n\) est une somme de Riemann qui converge vers \(I = \int_0^1 \sqrt{x^2 + 1} \mathrm{ \;d}x\). Pour calculer \(I\), le plus rapide est d’intégrer par parties : \[I = \left[x\sqrt{x^2+1}\right]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{x^2+1-1}{ \sqrt{x^2+1}}\mathrm{ \;d}x\] d’où l’on tire \(2I = \sqrt{2} + \left[\mathop{\mathrm{argsh}}x\right]_0^1\) et comme \(\mathop{\mathrm{argsh}}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\), on tire \(I = \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\). Par conséquent, \(\boxed{u_n \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \left({\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \ln (1+\sqrt{2})\right) \sqrt{n}}\).


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