Étudier la suite de terme général \[u_n =\dfrac{1}{n^4} \prod_{k=1}^{2n}\left( n^2+k^2\right) ^{1/n}\]


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[ID: 2014] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 523
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Comme les termes de \(u_n\) sont strictement positifs, nous pouvons transformer le produit en somme en utilisant le logarithme. Posons pour \(n\in \mathbb N\), \(v_n = \ln u_n\). On calcule alors \[v_n = -4\ln n + \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n} \ln\left[ n^2(1+k^2/n^2)\right] = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{2n}\ln(1+k^2/n^2)\] On reconnaît alors une somme de Riemann, associée à la subdivision du segment \([0, 1]\) en \(2n\) intervalles en écrivant \[v_n = 2\times \dfrac{1}{(2n)}\sum_{k=1}^{2n}\ln\left( 1 + 4{\scriptstyle k^2\over\scriptstyle(2n)^2}\right)\] Comme la fonction \(f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \ln(1+4x^2) \end{array} \right.\) est continue sur le segment \([0, 1]\), \(v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}2I = 2\int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t\). En intégrant par parties cette intégrale, on trouve \(I = \dfrac12 \int_0^2\ln(1+u^2)\mathrm{ \;d}u = \dfrac12 \left[ u\ln(1+u^2)\right]_0^2 - \dfrac12 \int_0^2 \dfrac{2u^2\mathrm{ \;d}u}{1+u^2}=\dfrac12\ln 5 - 2 + 2\operatorname{arctan} 2\) et donc finalement, \(u_n = e^{v_n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\dfrac{5}{e^4}e^{2\operatorname{arctan} 2}\).


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