Pour \(n\in \mathbb N\), on pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n - t^{2n}}{1-t} \; dt\]

  1. Justifier l’existence de \(I_n\) pour \(n\geqslant 1\).

  2. Déterminer la limite de la suite \((I_n)\).


Barre utilisateur

[ID: 2012] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 803
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28
  1. Soit \(t \in [0, 1[\). Puisque \(1-t^n = \left(1 + t + \dots + t^{n-1}\right)\left(1-t\right)\), \[\dfrac{t^n-t^{2n}}{1-t} = t^n(1+t+\dots + t^{n-1}) = \sum_{k=n}^{2n-1} t^k \xrightarrow[x \rightarrow 1^{-}]{} n\] Donc à \(n\) fixé, la fonction à intégrer se prolonge par continuité sur le segment \([0, 1]\), donc l’intégrale \(I_n\) existe.

  2. D’après ce calcul, on peut exprimer \(I_n\) à l’aide d’une somme : \[I_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{k+1} = \sum_{i=n+1}^{2n} \dfrac{1}{i}\] On reconnaît une somme de Riemann : \[I_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle n\over\scriptstyle k} + 1} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(k/n)\]\(f : \left\{ \begin{array}{ccl} [0, 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{x+1} \end{array} \right.\) est une fonction continue sur le segment \([0, 1]\). donc \[I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x = \boxed{\ln 2}\]


Documents à télécharger