Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}\sqrt{\dfrac{k}{k+n}}\]


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[ID: 2010] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 583
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

On reconnaît une somme de Riemann : \[u_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left( {\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right) \textrm{ où } f:\left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{1}{1+x}\sqrt{\dfrac{x}{1+x}} \end{array} \right.\] avec la fonction \(f\) qui est continue sur le segment \([0,1]\). Par conséquent, la suite \((u_n)\) converge vers \[I = \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\sqrt{\dfrac{x}{1+x}} \mathrm{ \;d}x\] C’est une intégrale d’une fraction rationnelle en \(x\) et en une racine \(n\)-ième d’une homographie qui se calcule grâce au changement de variables \(t=\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}\). On trouve alors : \(x = {\scriptstyle t^2\over\scriptstyle 1-t^2} = -1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1-t^2}\), \(\mathrm{ \;d}x = {\scriptstyle 2t\mathrm{ \;d}t\over\scriptstyle(1-t^2)^2}\) et \[I = \int_0^{1/\sqrt2} (1-t^2)t \dfrac{2t\mathrm{ \;d}t}{(1-t^2)^2} = \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{2t^2\mathrm{ \;d}t}{(1-t^2)^2} = -2\times\dfrac{1}{\sqrt2} + \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1-t} + \int_0^{1/\sqrt2} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1+t} = \boxed{-\sqrt{2}+ \ln \dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\]


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