Soient deux réels \(\alpha>0, \beta >0\). Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\alpha n + \beta k }\]


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[ID: 2008] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 973
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\geqslant 1\). Écrivons \[u_n = \dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{\alpha + \beta k/n}\] On reconnaît alors une somme de Riemann. Posons \(f : \left\{ \begin{array}{ccl} [0, 1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & 1/(\alpha + \beta x) \end{array} \right.\). Cette fonction est continue sur le segment \([0, 1]\) et donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x\). Reste à calculer cette intégrale : \[\int_0^1 f(x) \mathrm{ \;d}x = \left[ \ln(\alpha + \beta x) \right]_0^1 = \ln(1 + \alpha / \beta)\].


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