Trouver la limite des suites de termes général \[\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{8k^3+n^3}\]


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[ID: 2006] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 369
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in \mathbb N\). En mettant en évidence le groupement \(k/n\), on reconnaît une somme de Riemann : \[u_n = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{\left( {\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right)^2 }{8\left({\scriptstyle k\over\scriptstyle n}\right)^3+1} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_0^1 \dfrac{x^2\mathrm{ \;d}x}{8x^3+1} = I\] On calcule la limite \(I = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 24}\ln 9 = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12}\ln 3\).


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