Déterminer la limite de la suite de terme général \[u_n = n\sum_{k=1}^n \dfrac{ e^{-n/k}}{k^2}\]


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[ID: 2004] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 173
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On écrit : \[u_n = n\sum_{k=1}^n \dfrac{ e^{-n/k}}{k^2} = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{n^2e^{-{\scriptstyle n\over\scriptstyle k}}}{k^2}\] et on reconnaît une somme de Riemann. L’intégrale à calculer est \(\int_{0}^{1} \dfrac{e^{-1/x}}{x^2}\,\textrm{d}x\). La fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^{-1/x}}{x^2}\) est prolongeable par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\) donc cette intégrale est bien définie. Une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) est \(x\mapsto e^{-1/x}\) donc l’intégrale vaut \(-1/e\). En conclusion \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1/e}\).


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