Étudier la suite de terme général \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\]


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[ID: 2002] [Date de publication: 12 mai 2021 13:28] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 54
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle k\over\scriptstyle n}}}+\dfrac{1}{n}\] On reconnaît une somme de Riemann \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle k\over\scriptstyle n}}} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\,\textrm{d}x = 2(\sqrt{2}-1)\) donc \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 2(\sqrt{2}-1)}\).


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