Étudier la suite de terme général \[u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2}\]


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[ID: 2000] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 406
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:28

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} =\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+{\scriptstyle k^2\over\scriptstyle n^2}}\] et on reconnaît une somme de Riemann. Donc \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\boxed{\dfrac{\pi}{4}}\).


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