Étudier la suite de terme général \[u_n=\sum_{p=n}^{2n} \dfrac{1}{p}\]


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[ID: 1998] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 142
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:27

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n=\sum_{p=n}^{2n} \dfrac{1}{p} = \sum_{p=0}^n \dfrac{1}{p+n} = \dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle p\over\scriptstyle n}+1} + \dfrac{1}{n} .\] On reconnaît une somme de Riemann :\(\dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^n \dfrac{1}{{\scriptstyle p\over\scriptstyle n}+1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x}\,\textrm{d}x=\ln 2\). On en déduit que \(\boxed{u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\ln 2}\).


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