Étudier la suite de terme général \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}\]


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[ID: 1996] [Date de publication: 12 mai 2021 13:27] [Catégorie(s): Sommes de Riemann ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 553
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:27

Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On met en évidence le groupement \(k/n\) : \[u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle 2k\over\scriptstyle n}}}\] et on reconnaît une somme de Riemann donc \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1+2x}}\,\textrm{d}x=\Bigl[ \sqrt{1+2x} \Bigr]_{0}^{1} =\boxed{\sqrt 3 - 1}\).


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