1. Écrire l’inégalité de Taylor-Lagrange pour l’exponentielle entre \(0\) et \(X\in\mathbb{R}_+^*\).

  2. En déduire l’existence d’une constante \(C>0\) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \forall x\in\left[0,1\right],\quad \left|\left(1+x^2\right)^{1/n} -1-\dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right) \right|\leqslant\dfrac{C}{n^2} .\]

  3. Trouver alors deux réels \(a,b\in\mathbb{R}\) tels que \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x=a+\dfrac{b}{n}+\dfrac{\varepsilon_n}{n}\]\(\varepsilon_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\)


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[ID: 1994] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 775
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26
  1. On écrit l’inégalité de Taylor-Lagrange pour l’exponentielle entre \(0\) et \(X\in\mathbb{R}_+^*\) : \[\left|e^{X}-\left(1+X\right)\right|\leqslant\dfrac{X^2}{2}e^X\] car \(\sup_{x\in\left[0,X\right] }\left|e^x\right|=e^X\).

  2. Soient \(x\in\left[0,1\right]\) et \(n\in\mathbb{N}\). Comme \(\left(1+x^2\right)^{1/n} = \exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\ln(1+x^2)\right)\), avec \(X={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\ln(1+x^2)\), on trouve que : \[\left| \left(1+x^2\right)^{1/n} -\left(1+\dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right)\right)\right| \leqslant\dfrac{\ln^2\left(1+x^2\right)}{2n^2}\left(1+x^2\right)\leqslant \dfrac{\ln^2 \left(2\right)}{n^2}\] car \(1+x^2\leqslant 2\)

  3. Posons \(a=\int_{0}^{1} \,\textrm{d}x=1\) et \(b=\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x\). On a alors : \[\varepsilon_n=\left| \int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x-a-\dfrac{b}{n} \right| = \left| \int_{0}^{1} \left[ \left(1+x^2\right)^{1/n} -1- \dfrac{1}{n}\ln\left(1+x^2\right) \right]\,\textrm{d}x \right|\leqslant\int_{0}^{1} \dfrac{C}{n^2}\,\textrm{d}x\leqslant\dfrac{C}{n^2}.\] Donc \(\int_{0}^{1} \left(1+x^2\right)^{1/n}\,\textrm{d}x=a+\dfrac{b}{n}+\varepsilon_n\) et \(\left|n\varepsilon_n\right| \leqslant\dfrac{C}{n}\) donc \(\varepsilon_n = \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{n}\right)\). Il ne reste plus qu’à calculer \(b\) par parties : \[b= \int_{0}^{1} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x = \Bigl[ x\ln\left(1+x^2\right) \Bigr]_{0}^{1} -2\int_{0}^{1} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\ln 2 - 2 + \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\ln 2 - 2 +\dfrac{\pi}{4}.\]


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