Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \([0,1]\). On pose pour \(x\in ]0,1[\), \[g(x)= \dfrac{ f(x)-f(0)-x(f(1)-f(0))}{\sin (\pi x) }\] Montrer que l’on peut prolonger \(g\) par continuité en \(0\) et \(1\).


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[ID: 1992] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 493
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26

On écrit la formule de Taylor-Young pour \(f\) en \(0\) à l’ordre \(1\) pour tout \(x\in\left[0,1\right]\) : \(f\left(x\right)=f\left(0\right)+xf'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(x\right)\) et on remplace dans \(g\left(x\right)\) : \[g\left(x\right)=\dfrac{xf'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(x\right)-x\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right)}{\sin \left(\pi x\right)} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{ f'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0^+}{o}\left(1\right)-\left(f\left(1\right)-f\left(0\right)\right) }{\pi}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} \dfrac{1}{\pi}\left(f'\left(0\right)-f\left(1\right)+f\left(0\right)\right)\] et on prolonge \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=\dfrac{1}{\pi}\left(f'\left(0\right)-f\left(1\right)+f\left(0\right)\right)\). La formule de Taylor-Young appliquée aux fonctions \(f\) et \(x\mapsto \sin \left(\pi x\right)\) en \(1\) à l’ordre \(1\) donne pour tout \(x\in\left[0,1\right]\): \[f\left(x\right)=f\left(1\right)+\left(x-1\right)f'\left(1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(x-1\right) \quad \textrm{ et} \quad\sin \left(\pi x\right)=-\pi \left(x-1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(x-1\right)\] et on procède comme précédemment : \[g\left(x\right)=\dfrac{\left( -f\left(1\right) +f'\left(1\right) -f\left(0\right) \right)\left(x-1\right) + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left({x-1}\right)}{-\pi \left(x-1\right)+\underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left({x-1}\right)} = \dfrac{ -f\left(1\right) +f'\left(1\right) -f\left(0\right) + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(1\right) }{-\pi + \underset{x \rightarrow 1^-}{o}\left(1\right) }\xrightarrow[x\rightarrow 1^-]{} \dfrac{1}{\pi} \left(f\left(1\right) -f'\left(1\right) +f\left(0\right) \right).\] On prolonge alors \(f\) par continuité en \(1\) en posant \(f\left(1\right)=\dfrac{1}{\pi} \left(f\left(1\right) -f'\left(1\right) +f\left(0\right) \right)\).


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