Trouver \[\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{ x(e^x+1)-2(e^x-1)}{x^3}\]


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[ID: 1990] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 535
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26

Utilisons la formule de Taylor-Young pour l’exponentielle en \(0\) à l’ordre \(3\): \[e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x) \textrm{ avec } \varepsilon(x)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 0\] Alors le numérateur s’écrit \(\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{x^3}{6}\) et par conséquent, la fonction tend vers \(\boxed{\dfrac{1}{6}}\).


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