Soient \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^{2}\) et \(a\in \mathbb{R}\). Montrer que :

\[\displaystyle{\lim_{h \rightarrow 0}{\scriptstyle f\left(a+h\right)-2f\left(a\right) + f\left(a-h\right)\over\scriptstyle h^2}}=f''\left(a\right)\] En déduire \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle 2\cos \left(x\right) -2\over\scriptstyle x^2}}\).


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[ID: 1988] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 119
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26

On utilise la formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\). Pour tout \(h\in\mathbb{R}\) : \[f\left(a+h\right)=f\left(a\right)+f'\left(a\right)h+f''\left(a\right)\dfrac{h^2}{2}+\underset{h \rightarrow 0}{o}\left(h^2\right)\] et on remplace : \[\begin{aligned} \dfrac{f\left(a+h\right)-2f\left(a\right) + f\left(a-h\right)}{h^2} = f''\left(a\right)+\underset{h \rightarrow 0}{o}\left(1\right)\xrightarrow[h\rightarrow 0]{}f''\left(a\right)\end{aligned}\]

On applique ce résultat à la fonction cosinus qui est bien de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}\) en \(a=0\). On obtient : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle 2\cos \left(x\right) -2\over\scriptstyle x^2}}=-1\)


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