En appliquant la formule de Taylor avec reste intégrale à la fonction \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) entre \(0\) et \(1\), montrer que :

\[1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \ln 2\]


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[ID: 1986] [Date de publication: 12 mai 2021 13:26] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1022
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26

La fonction \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\left[0,1\right]\). On montre facilement que \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \forall x\in\left[0,1\right],\quad \ln^{\left(n\right)} \left(1+x\right) = \dfrac{\left(-1\right)^{n-1}\left(n-1\right)!}{\left(1+x\right)^{n}}\). On applique alors la formule de Taylor avec reste intégrale : \[\begin{aligned} \ln 2 &= &\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\dfrac{\left(-1\right)^{k-1}\left(k-1\right)!}{\left(1+x\right)^{k}} +\int_{0}^{1} \dfrac{\left(1-t\right)^n}{n!} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(n\right)!}{\left(1+t\right)^{n+1}} \,\textrm{d}t\\ &=& 1 -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}}{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(1-t\right)^n}{\left(1+t\right)^{n}\left(1+t\right)} \,\textrm{d}t.\end{aligned}\] Mais \[\left|\int_{0}^{1} \dfrac{\left(-1\right)^{n}\left(1-t\right)^n}{\left(1+t\right)^{n}\left(1+t\right)} \,\textrm{d}t\right| =\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+t}\left(\dfrac{1-t}{1+t}\right)^n\,\textrm{d}t \leqslant\int_{0}^{1} \left(1-t\right)^n\,\textrm{d}t=\dfrac{1}{n+1}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\] et on conclut comme dans l’exercice précédent.


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