1. Montrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\) et pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on a :

    \[\displaystyle{\left|e^x - \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\right| \leqslant\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}}\]

  2. En déduire \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}}\).


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[ID: 1984] [Date de publication: 12 mai 2021 13:25] [Catégorie(s): Formules de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 394
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:26
  1. Soit \(x\in\mathbb{R}^*\). On applique la formule de Taylor avec reste intégrale sur \(\left[0,x\right]\) à la fonction \(\exp\) qui est \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur ce segment : \[e^x = \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!} + \int_{0}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t.\] Mais \[\left|\int_{0}^{x} \dfrac{\left(x-t\right)^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t\right| \leqslant\int_{0}^{\left|x\right|} \dfrac{\left|x-t\right|^n e^t}{n!}\,\textrm{d}t\leqslant\int_{0}^{\left|x\right|} \left|x\right|^n e^{\left|x\right|}\,\textrm{d}t=\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}\] et on en déduit l’inégalité annoncée.

  2. Comme \(\dfrac{\left|x\right|^{n+1} e^{\left|x\right|}}{\left(n+1\right)!}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) par le théorème des gendarmes \(\left|e^x - \sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\right|\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) et \(\boxed{\sum_{k=0}^{n} {\scriptstyle x^k\over\scriptstyle k!}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}e^x}\).


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