Soient le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E=\mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\) et les applications :

\[\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & f' \end{array} \right. \quad \textrm{ et} \quad\psi: \left\{ \begin{array}{ccl} E & \longrightarrow & E \\ f & \longmapsto & \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t \end{array} \right.\]

  1. Prouver que \(\varphi\) et \(\psi\) sont des endomorphismes de \(E\).

  2. Calculer \(\varphi\circ \psi\) et \(\psi\circ \varphi\).

  3. Déterminer les noyaux et images de \(\varphi\) et \(\psi\).


Barre utilisateur

[ID: 1982] [Date de publication: 12 mai 2021 13:18] [Catégorie(s): Algèbre linéaire et intégration ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 771
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:18
  1. La linéarité de \(\varphi\) provient de la linéarité de la dérivation et celle de \(\psi\) de la linéarité de l’intégration.

  2. Soit \(f\in E\). Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), elle est continue sur \(\mathbb{R}\) et, d’après le théorème fondamental, elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). On a : \(\forall x\in \mathbb{R}, \quad \left(\psi\left(f\right)\right)(x) = F\left(x\right)-F\left(0\right)\). Par conséquent : \(\varphi\circ \psi \left(f\right) = F'=f\) et donc \(\varphi\circ \psi = \mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). De même, \(f'\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et une primitive de \(f'\) sur \(\mathbb{R}\) est bien entendu donnée par \(f\). Donc, pour tout \(\psi\circ \varphi\left(f\right) = \psi\left(f'\right)=f-f\left(0\right)\).

  3. Comme \(\varphi\circ \psi=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) est bijective, nécessairement \(\varphi\) est surjective et \(\psi\) est injective. Donc \(\mathop{\mathrm{Im}}{\varphi}=E\) et \(\operatorname{Ker} {\psi}=\left\{0\right\}\). Par ailleurs, \(\operatorname{Ker}{\varphi}\) est donné par les fonctions constantes sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}{\psi}=\left\{f\in \mathcal{C}^{\infty}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)~|~ f\left(0\right)=0\right\}\). En effet, si \(f\) est élément de ce dernier ensemble alors \(\psi\left(f'\right)\) est la primitive de \(f'\) qui s’annule en \(0\). Il en est de même pour \(f\) et donc \(f=\psi\left(f'\right)\). Réciproquement, toute fonction de la forme \(x\mapsto \int_{0}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t\) s’annule en \(0\) et est \(\mathcal{C}^{\infty}\) si \(f\) l’est.


Documents à télécharger