Pour \(n\in \mathbb N\), on pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n - t^{2n}}{1-t} \; dt\]

  1. Justifier l’existence de \(I_n\) pour \(n\geqslant 1\).

  2. Déterminer la limite de la suite \((I_n)\)1.


  1. [exo_avec_somme_de_riemann] page [exo_avec_somme_de_riemann]1  Une autre solution de cet exercice utilisant les sommes de Riemann est proposée dans l’exercice

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[ID: 1978] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 452
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Soit \(t \in [0, 1[\). Puisque \(1-t^n = 1 + t + \dots + t^{n-1}\), \[\dfrac{t^n-t^{2n}}{1-t} = t^n(1+t+\dots + t^{n-1}) = \sum_{k=n}^{2n-1} t^k\] Donc à \(n\) fixé, la fonction à intégrer est continue sur le segment \([0, 1]\), donc l’intégrale \(I_n\) existe.

  2. D’après ce calcul, on peut exprimer \(I_n\) à l’aide d’une somme : \[I_n = \sum_{k=n}^{2n-1} \dfrac{1}{k+1} = \sum_{i=n+1}^{2n} \dfrac{1}{i}\] En encadrant pour \(i \geqslant 2\), \(1/i\) par deux intégrales : \[\int_i^{i+1} \dfrac{dt}{t} \leqslant\dfrac{1}{i} \leqslant\int_{i-1}^i \dfrac{dt}{t}\] on obtient un encadrement de \(I_n\) : \[\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{dt}{t} \leqslant I_n \leqslant\int_n^{2n} \dfrac{dt}{t}\] et donc \[\ln\dfrac{2n+1}{n+1} \leqslant I_n \leqslant\ln 2.\] D’après le théorème des gendarmes, \(\boxed{I_n \rightarrow \ln 2}\).


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