Étudier la suite \((u_n)\) de terme général : \[u_n = \int_{\pi}^{n\pi} \dfrac{\sin t}{t} \mathrm{ \;d}t\]

On commencera par déterminer le signe de \(u_{n+1} - u_n\), puis \(u_{n+2} - u_n\) et l’on s’intéressera ensuite aux deux suites extraites \(u_{2n}\) et \(u_{2n+1}\).

Barre utilisateur

[ID: 1974] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 577
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12

Soit \(n\in \mathbb N\). On calcule grâce au changement de variables \(u = t - n\pi\), \[u_{n+1} - u_n = \int_{n\pi}^{\left(n+1\right)\pi}\dfrac{\sin t}{t} \mathrm{ \;d}t = (-1)^n \int_0^{\pi} \dfrac{\sin u}{u + n\pi} \mathrm{ \;d}u\] Alors \[u_{n+2} - u_n = (-1)^n \int_0^{\pi}\dfrac{\pi\sin u}{(u + n\pi)(u + (n+1)\pi)} \mathrm{ \;d}u\] Puisque pour tout \(u \in [0, \pi]\), \(\dfrac{\pi \sin u}{(u + n\pi)(u + (n+1)\pi)} \geqslant 0\), on en déduit que \(u_{2n+2} - u_{2n} \geqslant 0\) et \(u_{2n+3} - u_{2n+1} \leqslant 0\). Donc \(\left(u_{2p}\right)\) est croissante et \(\left(u_{2p+1}\right)\) est décroissante. Comme de plus, \[\lvert u_{2n+1}-u_{2n} \rvert \leqslant\int_0^{\pi} \dfrac{\lvert \sin u \rvert }{u + 2n \pi} \mathrm{ \;d}u \leqslant\dfrac{1}{2n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\] en en déduit que les deux suites extraites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) sont adjacentes, et donc qu’elles convergent vers la même limite \(l\). D’après un théorème du cours, la suite \((u_n)\) converge alors également vers \(l\).


Documents à télécharger