On considère la suite de terme général \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n}{1+t} \mathrm{ \;d}t\]

  1. Trouver \(\lim_{n\rightarrow +\infty} I_n\)

  2. Trouver une relation de récurrence simple entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) pour \(n\geqslant 1\).

    On considère ensuite la suite, dite de Mercator, de terme général \[S_n = 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dots + \dfrac{ (-1)^{n+1}}{n} = \sum_{k=1}^n \dfrac{ (-1)^{k+1}}{k}\]

  3. Exprimer pour \(n\geqslant 1\), \(S_n\) en utilisant \(I_n\).

  4. En déduire que la suite \((S_n)\) converge et préciser sa limite.


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[ID: 1972] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Suite de Mercator
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Soit un entier \(n\in \mathbb N\). Puisque pour tout \(t \in [0,1]\), on a la majoration \(\dfrac{t^n}{1+t} \leqslant t^n\), on peut encadrer l’intégrale \(I_n\) ainsi : \[0 \leqslant I_n \leqslant\int_0^1 t^n dt = \dfrac{1}{n+1} .\] Par le théorème des gendarmes, on en déduit que \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\) .

  2. Écrivons pour \(n\geqslant 1\), \[I_n = \int_0^1 \dfrac{ (t+1-1)t^{n-1} }{1+t} \mathrm{ \;d}t = \int_0^1 t^{n-1} \mathrm{ \;d}t - I_{n-1} = \dfrac{1}{n} - I_{n-1}\] Alors \(\boxed{ I_n = \dfrac{1}{n} - I_{n-1}}\).

  3. En exprimant \(I_n\) en fonction de \(I_0\), on trouve que \[I_n= \dfrac{1}{n}-I_{n-1} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}+I_{n-2}= \dots = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n-1}+\dots + \dfrac{(-1)^{n-1}}{1} + (-1)^n I_0\] En multipliant par \((-1)^{n-1}\), on trouve alors que \((-1)^{n-1}I_n = S_n - I_0\). Finalement \(\boxed{S_n = I_0 + (-1)^{n-1} I_n}\).

  4. Puisque \(\left| (-1)^{n-1} I_n \right| = I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il vient que \(S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}I_0\). Mais \(I_0 = \int_0^1\dfrac{ dt }{1+t} = \ln 2\) et donc la suite \((S_n)\) converge vers \(\ln 2\).


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