1. Soit un entier \(k \geqslant 1\). Encadrer l’intégrale \(I_k = \int_k^{k+1} \ln t \mathrm{ \;d}t\) .

  2. En déduire un équivalent de la suite de terme général \(u_n = \ln n!\).


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[ID: 1970] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 332
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Soit \(k\in\mathbb{N}^*\). Comme la fonction logarithme est croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\), pour tout \(t\in\left[k,k+1\right]\), on a : \(\ln k \leqslant\ln t\leqslant\ln\left(k+1\right)\) et il vient que pour tout \(k\geqslant 1\), \(\ln k \leqslant I_k \leqslant\ln (k + 1)\).

  2. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). En sommant ces inégalités pour \(1 \leqslant k \leqslant n\), on trouve que \[\int_1^n \ln t \mathrm{ \;d}t \leqslant\ln n! \leqslant\int_2^{n+1} \ln t \mathrm{ \;d}t\] et puisque \(x\mapsto x\ln x - x\) est une primitive de \(\ln\) sur \([1, +\infty[\), on obtient l’encadrement suivant : \[n\ln n - n + 1 \leqslant\ln n! \leqslant(n+1) \ln(n+1) - (n+1) -2\ln2 + 2\] et l’on démontre ensuite facilement en divisant cette inégalité par \(n\ln n\) que \((\ln n!) / (n \ln n)\) est encadrée par deux suites qui convergent vers \(1\). Par conséquent, \(\boxed{\ln (n !) \underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} n \ln n}\).


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