Trouver la limite de la suite de terme général \[I_n= \dfrac{1}{n!} \int_0^1 (\operatorname{arcsin} x)^n dx\]


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[ID: 1968] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 685
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12

Soit \(n\in \mathbb N\). Pour tout \(x\in [0,1]\), \(0\leqslant\operatorname{arcsin} x \leqslant\dfrac{\pi}{2}\) donc \(0\leqslant I_n \leqslant\dfrac{1}{n!} (\pi / 2)^n\). Mais pour tout \(a>1\), par croissance comparées, \(a^n=\underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left(n!\right)\) donc \(\dfrac{1}{n!} (\pi / 2)^n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Par conséquent, \(\boxed{I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0}\).


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