Soit deux réels \(a,b\in \mathbb{R}\) tels que \(a<b\) et une fonction \(f:[a,b]\mapsto \mathbb{R}\) continue et positive. Déterminer la limite de la suite de terme général \[I_n = \left[ \int_a^b f^n(x) \mathrm{ \;d}x \right]^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n} }\]

On étudiera d’abord le cas où \(f\) est une fonction constante.

Barre utilisateur

[ID: 1966] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 511
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12

Si \(f\) est une fonction constante de valeurs \(c\in\mathbb{R}\) alors \(I_n=\left(c^n\left(b-a\right)\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}=c\left(b-a\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}c\).

Montrons que si \(f\) n’est pas constante sur \(\left[a,b\right]\) et si \(M=\sup_{\left[a,b\right]} f\) alors \(I_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}M\). Remarquons que \(M\) existe bien car \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\). Ce maximum est de plus atteint en un point \(x_0\in\left[a,b\right]\). Soit \(\varepsilon>0\). On suppose que \(\varepsilon<1\). Il existe \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in\left]x_0-\eta,x_0+\eta\right[\cap\left[a,b\right]\), \(M-\varepsilon\leqslant f\left(x\right)\leqslant M\). Comme \(f\) est positive sur \(\left[a,b\right]\), il vient pour tout \(n \in\mathbb{N}\) : \[\begin{split} 0\leqslant M-u_n = M-\left(\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)\right)^n\,\textrm{d}x\right)^{1/n} \leqslant M-\left(\int_{\left]x_0-\eta,x_0+\eta\right[\cap\left[a,b\right]}^{ } \left(f\left(x\right)\right)^n \,\textrm{d}x\right)^{1/n} \\ \leqslant M-\left(M-\varepsilon\right)\left(2\eta\right)^{1/n}=M\left(1-\left(2\eta\right)^{1/n}\right)+\varepsilon \left(2\eta\right)^{1/n} \end{split}\]

Comme \(\left(2\eta\right)^{1/n}\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\), on peut supposer qu’à partir d’un certain rang \(N\), on a pour tout \(n\geqslant N\) : \(1-\left(2\eta\right)^{1/n}\leqslant\varepsilon/(2M)\) et \(\left(2\eta\right)^{1/n}\leqslant\varepsilon/2\). On obtient alors : \(0 \leqslant M-u_n \leqslant\varepsilon/2 + \varepsilon^2/2 \leqslant\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon\) car \(0<\varepsilon<1\). En résumé, on a montré que pour \(n\geqslant N\), \(\left|M-u_n\right|\leqslant\varepsilon\) donc \(\boxed{u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}M}\).


Documents à télécharger