Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur le segment \([0,1]\) vérifiant \(f(1)=f'(1)=0\). Étudier la suite de terme général \[I_n=n^2 \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1964] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 58
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12

Soit \(n\in \mathbb N\). Par deux intégrations par parties, on trouve que \[I_n = \dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)} \int_0^1 x^{n+2}f''(x) \mathrm{ \;d}x\] Mais puisque \(\dfrac{n^2}{(n+1)(n+2)} \sim 1\), en posant \(M_2=\sup_{x\in [0,1]} \lvert f''(x) \rvert\) (qui existe puisque \(f''\) est continue sur le segment \([0,1]\)), on obtient la majoration suivante : \[\lvert \int_0^1 x^{n+2}f''(x) \mathrm{ \;d}x \rvert \leqslant\int_0^1 x^{n+2} \lvert f''(x) \rvert \mathrm{ \;d}x \leqslant M_2 \int_0^1 x^{n+2} \mathrm{ \;d}x \leqslant\dfrac{M_2}{n+3}\] Alors d’après le théorème de majoration, \(\int_0^1 x^{n+2}f''(x) dx \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\) et donc \[\boxed{ I_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0 }\]


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