Soit \(n\in \mathbb N\). On pose \[I_n = \int_0^1 \dfrac{t^n}{n!} e^{1-t} \mathrm{ \;d}t\]

  1. Déterminer \(\lim_{n\rightarrow +\infty} I_n\) ;

  2. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\) ;

  3. En déduire la limite de la suite de terme général \[S_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\]


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[ID: 1960] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 677
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Pour tout \(t \in\left[0,1\right]\), on a \(\dfrac{t^n}{n!} e^{1-t}\leqslant\dfrac{e}{n!}\). Donc : \[0\leqslant\lvert I_n \rvert \leqslant\int_0^1 \dfrac{e}{n!}\mathrm{ \;d}t =\dfrac{e}{n!}.\] Par le théorème des gendarmes, \(I_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\).

  2. On effectue une intégration par parties : \[I_{n} = \int_0^1 \dfrac{t^n}{n!} e^{1-t} \mathrm{ \;d}t = \Bigl[ \dfrac{t^{n+1}}{\left(n+1\right)!}e^{1-t} \Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \dfrac{t^{n+1}}{\left(n+1\right)!}e^{1-t}\,\textrm{d}t=\dfrac{1}{\left(n+1\right)!}+I_{n+1}\] donc \(\boxed{I_{n+1}=I_n - \dfrac{1}{(n+1)!}}\).

  3. Par télescopage, on en déduit que \[\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} = I_0 - I_n + 1\] et donc que \(S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}I_0 + 1\). Comme \(I_0 =e-1\), \(\boxed{S_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}e }\).


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