Pour tout \(n\in \mathbb{N}\), on considère la suite de terme général : \[I_n=\int_{0}^{1} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x\]

  1. Montrer que \[\forall n\in \mathbb{N}^*, \quad \int_{0}^{1} {\scriptstyle x^n\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x={\scriptstyle\ln 2\over\scriptstyle n} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x\]

  2. En déduire que \[I_n = 1 - \dfrac{\ln 2}{n} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right).\]


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[ID: 1958] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 48
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). En effectuant une intégration par parties, on obtient : \[\begin{aligned} \int_{0}^{1} {\scriptstyle x^n\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x &=& \int_{0}^{1} \dfrac{x.x^{n-1}}{1+x^n}\,\textrm{d}x\\ &=& \Bigl[ {\scriptstyle x\over\scriptstyle n}\ln\left(1+x^n\right) \Bigr]_{0}^{1}-\dfrac{1}{n}\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x\\ &=& {\scriptstyle\ln 2\over\scriptstyle n} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x \end{aligned}\]

  2. On en déduit que : \[\begin{aligned} I_n&=&\int_{0}^{1} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x\\ &=&\int_{0}^{1} \,\textrm{d}x-\int_{0}^{1} {\scriptstyle x^n\over\scriptstyle 1+x^n}\,\textrm{d}x\\ &=&1-\dfrac{\ln 2}{n}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x \end{aligned}\] Donc : \(n\left(I_n-1+\dfrac{\ln 2}{n}\right)=\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x\). Mais, d ’après l’inégalité : \(\forall x\in \left]-1,+\infty\right[,\quad \ln\left(1+x\right)\leqslant x\), on obtient : \[\int_{0}^{1} \ln\left(1+x^n\right)\,\textrm{d}x \leqslant \int_{0}^{1} x^n\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\] ce qui prouve que : \(\boxed{I_n = 1 - \dfrac{\ln 2}{n} + \underset{n \rightarrow +\infty}{o}\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right)}.\)


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