On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{1}^{e} x^2\left(\ln x\right)^n\,\textrm{d}x\)\(n\in\mathbb{N}^*\)..

  1. Étudier la monotonie de \(\left(I_n\right)\).

  2. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  3. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\).

  4. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\) ainsi qu’ un équivalent simple de \(I_n\).


Barre utilisateur

[ID: 1956] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 873
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(x\in\left[1,e\right]\), \(\ln x\in \left[0,1\right]\) et \(\ln^{n+1}x \leqslant\ln^n x\). On passe à l’intégrale et cette inégalité amène \(I_{n+1}\leqslant I_n\). \(\left(I_n\right)\) est donc décroissante.

  2. Comme, pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), \(x\mapsto x^2 \ln^n x\) est positive sur \(\left[1,e\right]\), la suite \(\left(I_n\right)\) est positive. Elle est donc minorée par \(0\) et on a montré qu’elle est décroissante. D’après le théorème de la limite monotone, elle est convergente et sa limite est positive ou nulle.

  3. On effectue une intégration par partie, on montre que pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \[\begin{aligned} I_{n+1}&=&\int_{1}^{e} x^2\ln^{n+1} x\,\textrm{d}x\\ &=&\Bigl[ \dfrac{x^3}{3}\ln^{n+1} x \Bigr]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \left(n+1\right)\dfrac{x^3}{3}\dfrac{\ln^n x}{x}\,\textrm{d}x\\ &=& \dfrac{1}{3}\left( {e^3-\left(n+1\right)I_n}\right) \end{aligned}\]

  4. On sait que \(\left(I_n\right)\) admet une limite \(\ell\geqslant 0\). Supposons que \(\ell\neq 0\). Alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient une contradiction. Donc \(\ell=0\). Toujours d’après la relation de récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on a : \(I_n=\dfrac{1}{n+1}\left(e^3-3I_{n+1}\right)\). Comme \(I_{n+1}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\), il vient : \(\boxed{I_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{e^3}{n+1}}\).


Documents à télécharger