Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on considère la suite de terme général \[I_n=\int_{1}^{e} \left(\ln x\right)^n\,\textrm{d}x\]

  1. Calculer \(I_0\) et \(I_1\).

  2. Trouver une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\).

  3. En déduire que \[\forall n\in \mathbb{N}, \quad 0<I_n <{\scriptstyle e\over\scriptstyle n+1}\] puis la limite de \(\left(I_n\right)\).

  4. En déduire un équivalent de \(I_n\).


Barre utilisateur

[ID: 1954] [Date de publication: 12 mai 2021 13:12] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 830
Par emmanuel le 12 mai 2021 13:12
  1. \(I_0=e-1\) et \(I_1=1\).

  2. On effectue une intégration par parties : \[\begin{aligned} I_{n+1}&=&\Bigl[ x\left(\ln{x}\right)^{n+1} \Bigr]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \left(n+1\right)\left(\ln x\right)^n\,\textrm{d}x\\ &=& e-\left(n+1\right)I_n \end{aligned}\]

  3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On a : \(\forall x\in\left[1,e\right], 0\leqslant\left(ln x\right)^n\) Donc \(0\leqslant I_n\). On en déduit que : \(I_n=\dfrac{e-I_{n+1}}{(n+1)} \leqslant\dfrac{e}{(n+1)}\). En appliquant le théorème des gendarmes, on en déduit que \(I_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  4. D’après la relation de récurrence, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \[I_n=\dfrac{e}{n+1}-\dfrac{I_{n+1}}{n+1} =\dfrac{e}{n+1}\left(1-I_{n+1}\right) .\] Mais comme \(I_{n+1} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\), il vient que : \(\boxed{I_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{e}{n+1}}\).


Documents à télécharger