On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{0}^{1} x^n\left(1-x\right)^n\,\textrm{d}x\).

  1. Étudier les variations de \(f:x\mapsto x\left(1-x\right)\) sur \(\left[0,1\right]\).

  2. En déduire celles de \(\left(I_n\right)\).

  3. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  4. Montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\quad 0 \leqslant I_n \leqslant\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\right)^n.\]

  5. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\).


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[ID: 1952] [Date de publication: 12 mai 2021 12:53] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1061
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:53
  1. L’étude des variations de \(f\) permet de dresser le tableau suivant :

  2. On déduit de l’étude précédente que  : \(\forall x\in\left[0,1\right], \quad x\left(1-x\right) \in \left[0,1\right]\). Il vient alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(x^{n+1}\left(1-x\right)^{n+1} \leqslant x^n\left(1-x\right)^n\) et \(I_{n+1} \leqslant I_n\). On en déduit que \(\left(I_n\right)\) est décroissante.

  3. La fonction \(f\) étant positive sur \(\left[0,1\right]\), il en est de même de \(\left(I_n\right)\). En appliquant le théorème de la limite monotone, on en déduit que \(\left(I_n\right)\) est convergente et que sa limite est positive.

  4. \(f\) est majorée par \(\dfrac{1}{4}\) sur \(\left[0,1\right]\) : \(\forall x\in\left[0,1\right],\quad f\left(x\right)\leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}\). Il en découle que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(x^n\left(1-x\right)^n\leqslant\dfrac{1}{4^n}\) et \(I_n\leqslant\dfrac{1}{4^n}\). On a par ailleurs montré dans la question précédente que \(I_n\geqslant 0\).

  5. La suite \(\left(\dfrac{1}{4^n}\right)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{4}\) donc elle converge vers \(0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\left(I_n\right)\) converge vers \(0\).


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