On considère la suite de terme général \(I_n=\int_{0}^{1} \dfrac{x^n}{1+x^2}\,\textrm{d}x\).

  1. Calculer \(I_0\), \(I_1\) et \(I_2\).

  2. Étudier la monotonie de \(\left(I_n\right)\).

  3. En déduire que \(\left(I_n\right)\) est convergente.

  4. Prouver que : \[\forall n\in\mathbb{N},\quad 0 \leqslant I_n \leqslant{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n+1}.\]

  5. En déduire la limite de \(\left(I_n\right)\).

  6. En déduire un équivalent de la suite \[J_n = \int_{0}^{1} x^n \ln\left(1 + x^2\right)\,\textrm{d}x\]


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[ID: 1950] [Date de publication: 12 mai 2021 12:53] [Catégorie(s): Suites dont le terme général est défini par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 31
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:53
  1. On trouve : \(I_0=\dfrac{\pi}{4}\), \(I_1=\ln\sqrt{2}\) et \(I_2=1-\dfrac{\pi}{4}\).

  2. Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\) et \(n\in\mathbb{N}\), on a : \(x^{n+1}\leqslant x^n\) ce qui amène : \(\dfrac{x^{n+1}}{1+x^2}\leqslant\dfrac{x^n}{1+x^2}\) et donc \(I_{n+1}\leqslant I_n\). On en déduit que \(\left(I_n\right)\) est décroissante.

  3. Comme la fonction \(x\mapsto \dfrac{x^n}{1+x^2}\) est positive sur \(\left[0,1\right]\), on a : \(I_n\geqslant 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\). La suite \(\left(I_n\right)\) est donc minorée par \(0\). On a montré qu’elle est décroissante. On applique le théorème de la limite monotone, on en déduit qu’elle est convergente et que sa limite est positive.

  4. Pour tout \(x\in\left[0,1\right]\) et \(n\in\mathbb{N}\), on a : \(\dfrac{x^n}{1+x^2} \leqslant x^n\). Donc : \(I_n\leqslant\int_{0}^{1} x^n\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{n+1}\). On a de plus montré précédemment que \(I_n\geqslant 0\).

  5. D’après le théorème des gendarmes, on en déduit que \(I_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\).

  6. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Une intégration par parties livre : \[J_n=\Bigl[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \ln\left(1+x^2\right) \Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \dfrac{2x}{1+x^2}\,\textrm{d}x = \dfrac{\ln 2}{n+1} - \dfrac{2}{n+1}I_{n+2}=\dfrac{\ln 2}{n+1}\left(1-\dfrac{2}{\ln 2} I_{n+2}\right) .\] Comme \(I_{n+2} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\), il vient que \(\boxed{J_n\underset{n\rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{\ln 2}{n+1}}\).


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