Soient deux fonctions continues \(f\) et \(g\) sur \([0,1]\). On suppose que \(\forall x \in [0,1]\), \[f(x)=\int_0^x g(t) \mathrm{ \;d}t \textrm{ et } g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{ \;d}t\]

  1. Montrer que \(f\) et \(g\) sont \(\mathcal{C}^{\infty}\) ;

  2. Montrer que \(f=g=0\).


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[ID: 1946] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 209
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42
  1. Comme \(f\) et \(g\) sont continues sur \(\left[0,1\right]\), d’après le théorème fondamentale, elles admettent des primitives \(F\) et \(G\) sur \(\left[0,1\right]\). On peut de plus supposer que ces primitives s’annulent en \(0\). Remarquons que \(F\) et \(G\) sont éléments de \(\mathcal{C}^{1}\left(\left[0,1\right]\right)\). Il vient alors pour tout \(x\in\left[0,1\right]\) : \[f\left(x\right)=G\left(x\right) \quad \textrm{ et} \quad g\left(x\right)=F\left(x\right).\] Mais alors \(f\) et \(g\) sont aussi éléments de \(\mathcal{C}^{1}\left(\left[0,1\right]\right)\). Comme \(f'=g\) et que \(g'=f\), on montre par une récurrence facile que \(f,g\in\mathcal{C}^{\infty}\left(\left[0,1\right]\right)\).

  2. Comme \(f'=g\) et que \(g'=f\), \(f\) est solution de l’équation différentielle : \(y''-y=0\). Donc il existe \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tels que \(f:x\mapsto \alpha e^x + \beta e^{-x}\). Mais comme \(f\left(0\right)=0\) et que \(f'\left(0\right)=g\left(0\right)=0\), il vient que \(\alpha=\beta=0\). Donc \(f=0\). Comme \(f'=g\), il est clair que \(g=0\) aussi.


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