Étudier la fonction définie par \[g(x)= \int_x^{x^2} \dfrac{e^t}{t} dt.\]


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[ID: 1944] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 491
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42

La fonction \(f:x\mapsto e^t/t\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}^*\) par opérations sur les fonctions continues sur \(\mathbb{R}^*\). \(f\) diverge en \(0\). Si \(x\in\mathbb{R}_-\), alors \(0\in\left[x,x^2\right]\) et donc on ne peut intégrer \(f\) sur ce segment. On en déduit que \(g\) est définie sur \(\left]0,+\infty\right[\). De plus, d’après le théorème fondamental, \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}_+^*\). Donc, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(g\left(x\right)=F\left(x^2\right)-F\left(x\right)\). On en déduit que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) et que pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \[g'(x) = 2x\dfrac{e^{x^2}}{x^2} - \dfrac{e^x}{x}=\dfrac{2e^{x^2}-e^x}{x}.\] Pour tout \(x\in\left]0,1\right[\) et tout \(t\in\left[x,x^2\right]\), \(e^t/t \leqslant e^x / x^2\) donc \(g\left(x\right)\leqslant{\scriptstyle e^x\over\scriptstyle x^2}\left(x^2-x\right) =e^x\left(1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{} -\infty\) donc d’après le théorème des gendarmes, \(g\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\).

De même, pour tout \(x\geqslant 1\) et tout \(t\in\left[x,x^2\right]\), \(e^{t}/t\geqslant 1/t\) et \(g\left(x\right) \geqslant\ln\left(x^2\right)-\ln\left(x\right)=\ln\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\). Donc \(g\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\).

Afin d’étudier les variations de \(g\), résolvons l’équation : \(2e^{x^2}-e^x=0\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) : \[2e^{x^2}-e^x=0 \Longleftrightarrow e^{x^2+\ln 2}=e^x \Longleftrightarrow x^2-x+\ln 2=0\] mais le discriminant de ce trinôme est négatif donc l’équation n’admet pas de solution sur \(\mathbb{R}_+^*\). On en déduit que \(g'\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}_+^*\) et que \(g\) est strictement croissante. Remarquons que l’unique zéro de \(g\) est en \(x=1\).

Pour les limites, on remarque que au voisinage de \(0\), \(\int_{x}^{x^2} e^{x^2}/t\,\textrm{d}t \leqslant g(x)\leqslant\int_{x}^{x^2} e^x/t\,\textrm{d}t\) et \(e^{x^2}\ln x\leqslant g(x)\leqslant e^{x}\ln x\) donc par le théorème des gendarmes, \(g(x)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-\infty\). Au voisinage de \(+\infty\), \(\int_{x}^{x^2} e^{t}/x^2\,\textrm{d}t \leqslant g(x)\leqslant\int_{x}^{x^2} e^t/x\,\textrm{d}t\) et \(\left(e^{x^2}-e^x\right)/x^2\leqslant g(x)\leqslant\left(e^{x^2}-e^x\right)/x\) donc toujours par le théorème des gendarmes, \(g(x)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\).

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