Soient deux fonctions \(f\) et \(g\) continues et positives sur l’intervalle \([0,+\infty[\). On suppose que \[\forall x \geqslant 0, \quad f(x) \leqslant C + \int_0^x f(t)g(t) \mathrm{ \;d}t\]\(C\) est une constante strictement positive.

  1. Montrer que \[\forall x \geqslant 0,\quad f(x) \leqslant C\exp\left(\int_0^x g(t) \mathrm{ \;d}t \right) .\] C’est le lemme de Gronwall, très utile pour étudier des équations différentielles.

  2. Que peut-on dire si \(f(x)\leqslant\int_0^x f(t)g(t) \mathrm{ \;d}t\) ?

Introduire la fonction \(\varphi(x)=C+\int_0^x f(t)g(t) \mathrm{ \;d}t\) et calculer sa dérivée.

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[ID: 1942] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 972
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42
  1. Introduisons la fonction \(\varphi\) donnée pour tout \(x\in\left[0,+\infty\right[\) par \(\varphi(x)=C+\int_0^x f(t)g(t) \mathrm{ \;d}t\). D’après le théorème fondamental, la fonction \(\varphi\) est dérivable et en utilisant l’hypothèse, pour tout \(x\geqslant 0\), il vient que \[\varphi'(x)=f(x)g(x) \leqslant g(x)\varphi(x)\] Introduisons alors la fonction \(\psi(x)=e^{-\int_0^x g(t) \mathrm{ \;d}t}\varphi(x)\). On a \[\psi'(x)=e^{-\int_0^x g(t) \mathrm{ \;d}t}\left( \varphi'(x)-g(x)\varphi(x) \right) \leqslant 0\] Donc \(\psi\) est décroissante sur \([0,+\infty[\) et donc puisque \(\psi(0)=C\), \[\forall x\geqslant 0, \psi(x)\leqslant C \Rightarrow f(x)\leqslant\varphi(x)\leqslant Ce^{\int_0^x g(t) \mathrm{ \;d}t}\]

  2. Lorsque \(C=0\), on trouve que \(f\) est nulle sur \([0,+\infty[\).


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