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[ID: 1940] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 759
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:42

1. La fonction donnée par \(f(t)={\scriptstyle \mathop{\mathrm{ch}}t\over\scriptstyle t^2}\) est définie et continue sur les intervalle \(\mathbb{R}_+^*\) et \(\mathbb{R}_-^*\) . D’après le théorème fondamental, \(f\) admet une primitive sur chacun de ces deux intervalles. On note \(F\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\), primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) et \(\mathbb{R}_-^*\) . Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), on peut alors écrire \(g\left(x\right)=F\left(2x\right)-F\left(x\right)\). La fonction \(g\) est donc définie sur \(\mathbb{R}^*\).

2. Par le changement de variables \(u=-t\), on montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(g(-x)=\int_{-x}^{-2x} f(t) \mathrm{ \;d}t = -\int_x^{2x} f(-t) \mathrm{ \;d}t = -g(x)\) car la fonction \(f\) est paire. La fonction \(g\) est donc impaire. On ne fera donc son étude que sur \(I=]0,+\infty[\).

3. Remarquons tout d’abord que comme \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), il en est de même de \(g\) par opérations sur les fonctions continues. Soit \(x \in ]0, +\infty[\), on a : \[g'(x)=2 F'\left(2x\right) - F'\left(x\right)= 2f\left(2x\right)-f\left(x\right)=2\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}(2x)}{(2x)^2}- \dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{x^2} = \dfrac{ 2\mathop{\mathrm{ch}}^2x-2\mathop{\mathrm{ch}}x -1}{2x^2}.\] Trouver les valeurs \(x>0\) telles que \(g'(x)=0\), revient à résoudre une équation du second degré en \(\mathop{\mathrm{ch}}x\) et l’on trouve que \(\mathop{\mathrm{ch}}x= \dfrac{ 1+\sqrt{3}}{2}\). On résout ensuite une équation du second degré en \(e^x\) et l’on trouve \(e^x = {\scriptstyle 1+\sqrt{3}+\sqrt{ 2\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}\). Finalement \(x_0= \ln \left( {\scriptstyle 1+\sqrt{3}+\sqrt{ 2\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}\right)\). La fonction \(g'\) est négative sur l’intervalle \(]0,x_0[\) et positive sur l’intervalle \(]x_0,+\infty[\).

4. Soit \(x>0\). Puisque \(\forall t\in [x,2x]\), \(\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{4x^2} \leqslant f(t) \leqslant\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}(2x)}{x^2}\), on en déduit que \(\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{4x} \leqslant g(x) \leqslant\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{x}\) et d’après le théorème des gendarmes, on obtient que \(\lim_{x\rightarrow 0} g(x)= +\infty\) et \(\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=+\infty\).