On se propose d’étudier la fonction définie par \(g(x)= \int_x^{2x} \dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}t}{t^2} dt\).

  1. Montrer que le domaine de définition de \(g\) est \(\mathbb{R}^{*}\).

  2. Etudier la parité de la fonction \(g\).

  3. Calculer la dérivée de la fonction \(g\) et dresser son tableau de variations.

  4. Calculer la limite de la fonction \(g\) en \(0\) et en \(+\infty\).


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[ID: 1940] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 759
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42
  1. La fonction donnée par \(f(t)={\scriptstyle \mathop{\mathrm{ch}}t\over\scriptstyle t^2}\) est définie et continue sur les intervalle \(\mathbb{R}_+^*\) et \(\mathbb{R}_-^*\) . D’après le théorème fondamental, \(f\) admet une primitive sur chacun de ces deux intervalles. On note \(F\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\), primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+^*\) et \(\mathbb{R}_-^*\) . Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), on peut alors écrire \(g\left(x\right)=F\left(2x\right)-F\left(x\right)\). La fonction \(g\) est donc définie sur \(\mathbb{R}^*\).

  2. Par le changement de variables \(u=-t\), on montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(g(-x)=\int_{-x}^{-2x} f(t) \mathrm{ \;d}t = -\int_x^{2x} f(-t) \mathrm{ \;d}t = -g(x)\) car la fonction \(f\) est paire. La fonction \(g\) est donc impaire. On ne fera donc son étude que sur \(I=]0,+\infty[\).

  3. Remarquons tout d’abord que comme \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\), il en est de même de \(g\) par opérations sur les fonctions continues. Soit \(x \in ]0, +\infty[\), on a : \[g'(x)=2 F'\left(2x\right) - F'\left(x\right)= 2f\left(2x\right)-f\left(x\right)=2\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}(2x)}{(2x)^2}- \dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{x^2} = \dfrac{ 2\mathop{\mathrm{ch}}^2x-2\mathop{\mathrm{ch}}x -1}{x^2}.\] Trouver les valeurs \(x>0\) telles que \(g'(x)=0\), revient à résoudre une équation du second degré en \(\mathop{\mathrm{ch}}x\) et l’on trouve que \(\mathop{\mathrm{ch}}x= \dfrac{ 1+\sqrt{3}}{2}\). On résout ensuite une équation du second degré en \(e^x\) et l’on trouve \(e^x = {\scriptstyle 1+\sqrt{3}+\sqrt{ 2\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}\). Finalement \(x_0= \ln \left( {\scriptstyle 1+\sqrt{3}+\sqrt{ 2\sqrt{3}}\over\scriptstyle 2}\right)\). La fonction \(g'\) est négative sur l’intervalle \(]0,x_0[\) et positive sur l’intervalle \(]x_0,+\infty[\).

  4. Soit \(x>0\). Puisque \(\forall t\in [x,2x]\), \(\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{4x^2} \leqslant f(t) \leqslant\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}(2x)}{x^2}\), on en déduit que \(\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x}{4x} \leqslant g(x) \leqslant\dfrac{ \mathop{\mathrm{ch}}x}{x}\) et d’après le théorème des gendarmes, on obtient que \(\lim_{x\rightarrow 0} g(x)= +\infty\) et \(\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=+\infty\).

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