Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{1}\) et \(g:\mathbb{R}^*\rightarrow\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\neq 0,\quad g\left(x\right) = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2x} \int_{-x}^{x} f\left(t\right)\,\textrm{d}t.\]

  1. Montrer que \(g\) peut-être prolongée par continuité en \(0\). On appellera encore \(g\) la fonction ainsi définie sur \(\mathbb{R}\).

  2. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et calculer \(g'\left(x\right)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\).

  3. Montrer que \(g\) est dérivable en \(0\) et calculer \(g'\left(0\right)\).


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[ID: 1938] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1015
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42
  1. Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), elle admet, d’après le théorème fondamental de l’analyse une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). Comme \(f\) est \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\), \(F\) est \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}\). De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \[g\left(x\right)=\dfrac{F\left(x\right)-F\left(-x\right)}{2x} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{F\left(x\right)-F\left(0\right)}{x} + \dfrac{F\left(-x\right)-F\left(0\right)}{-x} \right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} F'\left(0\right)=f\left(0\right)\] car \(F\) est dérivable en \(0\) de dérivée \(f\left(0\right)\). Donc on peut prolonger \(g\) par continuité en \(0\) en posant \(g\left(0\right)=f\left(0\right)\).

  2. En utilisant ce qui a été fait dans la question précédente, on peut écrire pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \[g\left(x\right)=\dfrac{F\left(x\right)-F\left(-x\right)}{2x}\] avec \(F\) qui est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}\). Donc \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^*\) par opération sur les fonctions de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\mathbb{R}^*\). En particulier, \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) et si \(x\in\mathbb{R}^*\) : \[g'\left(x\right)= \dfrac{2x\left(F'\left(x\right) + F'\left(-x\right) \right) - 2\left(F\left(x\right)-F\left(-x\right)\right) }{4x^2}=\dfrac{x\left(f\left(x\right) + f\left(-x\right) \right) - \left(F\left(x\right)-F\left(-x\right)\right) }{2x^2}=\dfrac{f\left(x\right) + f\left(-x\right) - g\left(x\right)}{2x} .\]

  3. Calculons le taux d’accroissement \(\Delta\) de \(g\) en \(0\). Soit \(x\in\mathbb{R}^*\) : \[\Delta\left(x\right)=\dfrac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x}= \dfrac{1}{x}\left( \dfrac{F\left(x\right)-F\left(-x\right)}{2x} - f\left(0\right) \right) .\] Comme \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^{2}\) sur \(\left[-x,x\right]\), d’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c_x\in\left]-x,x\right[\) tel que \(F\left(x\right)-F\left(-x\right)=2xf\left(c_x\right)\). On obtient alors : \[\Delta\left(x\right)= \dfrac{f\left(c_x\right) - f\left(0\right)}{x}.\] On utilise alors le fait que \(c_x\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et que \(f\) est dérivable en \(0\). On trouve \(\lim_{x\rightarrow 0} \Delta\left(x\right)=f'\left(0\right)\) donc \(\boxed{g'\left(0\right)=f'\left(0\right)}\)..


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