Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on pose \(f\left(x\right) = \int_{x}^{2x} \dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}\,\textrm{d}t\).

  1. Montrer que \(f\) est bien définie.

  2. En effectuant un changement de variable, montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \(f\left(x\right)=f\left(\dfrac{1}{2x}\right)\).

  3. En déduire un équivalent simple de \(f\) en \(+\infty\).


Barre utilisateur

[ID: 1936] [Date de publication: 12 mai 2021 12:42] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 708
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:42
  1. La fonction \(\varphi:t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions continues. Par application du théorème fondamental, on en déduit qu’elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\left(x\right)=F\left(2x\right)-F\left(x\right)\). \(f\) est donc bien définie sur \(\mathbb{R}\). On remarque de plus que \(\varphi\) étant de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), il en est de même de \(F\).

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}^*\). On a : \[\begin{aligned} f\left(\dfrac{1}{2x}\right)&=&\int_{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2x}}^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} \dfrac{1}{\sqrt{1+t^4}}\,\textrm{d}t\\ &\xlongequal{u={\scriptstyle 1\over\scriptstyle t}}&\int_{{2x}}^{{x}} -\dfrac{1}{u^2}\dfrac{1}{\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle u^4}}}\,\textrm{d}u\\ &=&\int_{x}^{2x} \dfrac{1}{\sqrt{1+u^4}}\,\textrm{d}t\\ &=&f\left(x\right) \end{aligned}\]

  3. Chercher un équivalent de \(f\left(x\right)\) en \(+\infty\) revient à chercher un équivalent de \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) en \(0\). D’après la question précédente, \(f\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)=f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)\). D’après la première question, on peut affirmer que \(x\mapsto f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et admet donc un développement limité à l’ordre \(1\) en \(0\). Au voisinage de \(0\), on a donc : \[f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)=f\left(0\right)+{\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}f'\left(0\right)+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right).\] Mais, d’après la première question, \(f'\left(x\right)=2\varphi\left(2x\right)-\varphi\left(x\right)\) donc \(f'\left(0\right)=1\). Il est clair d’autre part que \(f\left(0\right)=0\). On a donc : \(f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)={\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}+\underset{x \rightarrow 0}{o}\left(x\right)\) ce qui amène \(f\left({\scriptstyle x\over\scriptstyle 2}\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{2}\) et il vient \(\boxed{f\left(x\right)\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{1}{2x}}\).


Documents à télécharger