On considère la fonction \(f\) donnée par \(f\left(x\right)=\int_{x}^{4x} e^{-t^2}\,\textrm{d}t\)

  1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).

  2. Montrer que \(f\) est impaire.

  3. Déterminer la dérivée de \(f\) et en déduire ses variations.

  4. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son domaine.


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[ID: 1934] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 895
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:41
  1. La fonction \(\varphi:t\mapsto e^{-t^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). D’après le théorème fondamental de l’analyse, on peut affirmer qu’elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). \(\varphi\) étant de classe \(\mathcal{C}^{+\infty}\), il en est de même de \(F\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\left(x\right)=F\left(4x\right)-F\left(x\right)\)..

  2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). \(f\left(-x\right) = \int_{-x}^{-4x} e^{-t^2}\,\textrm{d}t\xlongequal{u=-t} -\int_{x}^{4x} e^{-t^2}\,\textrm{d}t =-f\left(x\right)\). \(f\) est donc impaire.

  3. D’après la première question, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=4f\left(4x\right)-f\left(x\right)=4e^{-16x^2}-e^{-x^2}\). On vérifie facilement que \(f'\left(x\right)=0\) si et seulement si \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\), qu’elle est positive entre ces deux valeurs et négative ailleurs. On en déduit que \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty,\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\right]\), croissante sur \(\left[-\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}},\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\right]\) et décroissante à nouveau sur \(\left[\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}},+\infty\right[\).

  4. \(\varphi\) étant décroissante, pour tout \(x>0\), et tout \(t\in\left[x,4x\right]\), on a \(e^{-t^2} \leqslant e^{-x^2}\) et \(f\left(x\right)\leqslant \int_{x}^{4x} e^{-x^2}\,\textrm{d}t=3xe^{-x^2} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\) donc, d’après le théorème des gendarmes, \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\). Par symétrie, on a aussi : \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}0\)

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