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[ID: 1934] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 895
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41

1. La fonction \(\varphi:t\mapsto e^{-t^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\). D’après le théorème fondamental de l’analyse, on peut affirmer qu’elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). \(\varphi\) étant de classe \(\mathcal{C}^{+\infty}\), il en est de même de \(F\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\left(x\right)=F\left(4x\right)-F\left(x\right)\)..

2. Soit \(x\in\mathbb{R}\). \(f\left(-x\right) = \int_{-x}^{-4x} e^{-t^2}\,\textrm{d}t\xlongequal{u=-t} -\int_{x}^{4x} e^{-t^2}\,\textrm{d}t =-f\left(x\right)\). \(f\) est donc impaire.

3. D’après la première question, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=4f\left(4x\right)-f\left(x\right)=4e^{-16x^2}-e^{-x^2}\). On vérifie facilement que \(f'\left(x\right)=0\) si et seulement si \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\), qu’elle est positive entre ces deux valeurs et négative ailleurs. On en déduit que \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty,\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\right]\), croissante sur \(\left[-\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}},\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}}\right]\) et décroissante à nouveau sur \(\left[\sqrt{\dfrac{2\ln{2}}{15}},+\infty\right[\).

4. \(\varphi\) étant décroissante, pour tout \(x>0\), et tout \(t\in\left[x,4x\right]\), on a \(e^{-t^2} \leqslant e^{-x^2}\) et \(f\left(x\right)\leqslant \int_{x}^{4x} e^{-x^2}\,\textrm{d}t=3xe^{-x^2} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\) donc, d’après le théorème des gendarmes, \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\). Par symétrie, on a aussi : \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}0\)

   

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