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Exercice 969
Soit \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue. On pose, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \[f(x)=\int_{0}^{x} \sin\left(x-t\right)g(t)\,\textrm{d}t\]
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \[f'(x)=\int_{0}^{x} \cos\left(x-t\right)g(t)\,\textrm{d}t\]
En déduire que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y''+y=g(x)\).
Résoudre cette équation différentielle.
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[ID: 1932] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 969
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41
Soit \(x,t\in\mathbb{R}\). On a : \(\sin\left(x-t\right)g(t)=\sin x\cos t g\left(t\right) - \cos x \sin t g\left(t\right)\). Les fonctions \(t\mapsto \cos t g(t)\) et \(t\mapsto \sin t g(t)\) sont continues sur \(\mathbb{R}\) par opération sur les fonctions continues. Par application du théorème fondamental, elles admettent, respectivement, des primitives \(G_1\) et \(G_2\) sur \(\mathbb{R}\). On peut supposer de plus que ces deux primitives s’annulent en \(0\). On a alors d’après les formules d’addition : \[f(x)=\int_{0}^{x} \sin\left(x-t\right)g(t)\,\textrm{d}t = \sin x G_1\left(x\right) - \cos x G_2\left(x\right)\] \(G_1\) et \(G_2\) étant de classe \(\mathcal{C}^{1}\), il en est de même de \(f\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[\begin{aligned} f'\left(x\right)&=& \cos x G_1\left(x\right) +\sin x \cos x g\left(x\right) + \sin x G_2\left(x\right) -\cos x \sin x g\left(x\right) \\ &=& \cos x G_1\left(x\right) + \sin x G_2\left(x\right)\\ &=&\int_{0}^{x} \cos\left(x-t\right)g(t)\,\textrm{d}t \end{aligned}\]
En effectuant des calculs analogues au précédent, on obtient : \[\begin{aligned} f''\left(x\right)&=&-\sin x G_1\left(x\right)+\cos^2 g\left(t\right)+\cos x G_2\left(x\right)+\sin^2 x g\left(x\right)\\ &=& g\left(x\right)-\sin x G_1\left(x\right)+\cos x G_2\left(x\right)\\ &=& g\left(x\right)-f\left(x\right) \end{aligned}\] \(f\) est donc solution de l’équation différentielle donnée.
Les solutions de \(y''+y=0\) sont les fonctions : \(x\mapsto \alpha \cos x+\beta \sin x\) où \(\alpha,\beta\) sont réels. Les solutions de \(y''+y=g\) sont donc les fonctions : \[x\mapsto f\left(x\right) +\alpha \cos x+\beta \sin x\] avec \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\)
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