On considère \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(\varphi(t)=\begin{cases} {\scriptstyle\mathop{\mathrm{sh}}t\over\scriptstyle t} \textrm{ si } t\neq 0 \\ 1 \textrm{ si } t=0 \end{cases}\) Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) donnée par \(f(x)=\int_{x}^{2x} \varphi \left(t\right)\,\textrm{d}t\).

  1. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).

  2. Montrer que \(f\) est impaire.

  3. Déterminer la dérivée de \(F\) et en déduire ses variations.

  4. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

  5. Tracer la tangente à l’origine, puis la courbe représentative de \(f\).

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[ID: 1930] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 632
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41

  1. \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\). De plus, \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}} x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc \(\varphi\) est aussi continue en \(0\). Par application du théorème fondamental de l’analyse, on en déduit que \(\varphi\) admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f\left(x\right)=F\left(2x\right)-F\left(x\right)\). \(f\) est donc définie et de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

  2. \(f\) est impaire : soit \(x\in \mathbb{R}\), \(f\left(-x\right)=\int_{0}^{-x} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}} t}{t}\,\textrm{d}t\xlongequal{u=-t}\int_{0}^{x} -\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}u}{u}\,\textrm{d}u=-f\left(x\right)\) par imparité de \(\mathop{\mathrm{sh}}\).

  3. \(f\) est strictement croissante. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=2F'\left(2x\right)-F'\left(x\right)=2\varphi\left(2x\right)-\varphi\left(x\right)=\begin{cases} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}2x - \mathop{\mathrm{sh}}x}{x} &\textrm{ si } x\in\mathbb{R}^*\\ 1 &\textrm{ si } x=0 \end{cases}\). Comme \(\mathop{\mathrm{sh}}\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

  4. Soit \(x>0\) et soit \(t\in\left[x,2x\right]\). On a : \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}t}{t}\geqslant\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}} x}{x}\) car \(\varphi\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+^*\). Donc : \(f\left(x\right) = \int_{0}^{x} \dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}t}{t}\,\textrm{d}t\geqslant\mathop{\mathrm{sh}}x \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\). On en déduit que \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\). Par symétrie, on a aussi : \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}-\infty\).

  5. On montre de plus facilement que \(f\) admet la bissectrice principale comme tangente en \(0\).

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