Montrer que la fonction définie par \[\varphi(x) = \int_{{\scriptstyle x-1\over\scriptstyle x}}^{{\scriptstyle x\over\scriptstyle x+1}} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^2 + 1} + \int_{1}^{2x^2} \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{t^2 + 1}\] est constante.


Barre utilisateur

[ID: 1926] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 991
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:41

D’après le théorème fondamental, \(\varphi\) est définie et dérivable sur les intervalles \(I_1 = ]-\infty, -1[\), \(I_2 = ]-1, 0[\) et \(]0, +\infty[\). On calcule sa dérivée sur chacun de ces intervalles : \[\begin{aligned} \varphi'(x) &= \dfrac{1}{\bigl({\scriptstyle x\over\scriptstyle x+1}\bigr)^2 + 1}\dfrac{1}{(x+1)^2} - \dfrac{1}{\bigl({\scriptstyle x-1\over\scriptstyle x}\bigr)^2 + 1} \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{4x}{4x^4 + 1} \\ &= \dfrac{1}{2x^2 + 2x + 1} - \dfrac{1}{2x^2 - 2x + 1} + \dfrac{4x}{4x^4 + 1}\\ &= \dfrac{-4x}{4x^4 + 1} + \dfrac{4x}{4x^4 + 1} = 0 \end{aligned}\] On obtient donc la formule \[\operatorname{arctan} \bigl({\scriptstyle x\over\scriptstyle x+1}\bigr) - \operatorname{arctan} \bigl( {\scriptstyle x-1\over\scriptstyle x}\bigr) + \operatorname{arctan} (2x^2) = \varepsilon{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\] avec \(\varepsilon\in \{-1, 1\}\).


Documents à télécharger