Soit une fonction \(f\) continue sur \([0, 1]\), dérivable sur \(]0, 1[\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telle que \(f(1) = \int_0^1 f(t) \mathrm{ \;d}t\). Montrer qu’il existe un réel \(c \in ]0, 1[\) tel que \(f'(c) = 0\).


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[ID: 1924] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1011
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:41

Considérons la fonction \[F : \left\{ \begin{array}{ccl} [0,1] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \int_0^x \left[f(t) - f(1)\right] \mathrm{ \;d}t \end{array} \right.\] Comme \(f\) est continue sur \(\left[0,1\right]\), \(F\) est bien définie d’après le théorème fondamental. Pour tout \(x\in [0, 1]\), \(F(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{ \;d}t - xf(1)\) et donc \(F(0) = 0 = F(1)\). Donc d’après le théorème de Rolle, il existe \(\alpha \in ]0, 1[\) tel que \(F'(\alpha) = 0\), mais puisque \(\forall x \in ]0, 1[\), \(F'(x) = f(x) - f(1)\), on en déduit que \(f(\alpha) = f(1)\). Alors en appliquant le théorème de Rolle à \(f\) sur le segment \([\alpha, 1]\), il existe \(c\in ]\alpha, 1[\) tel que \(f'(c) = 0\).


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