Soit une fonction \(f\) continue et positive sur le segment \([a, b]\). En utilisant la fonction \(F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{ \;d}t\), montrer que si \(\int_a^b f(t) \mathrm{ \;d}t = 0\), alors \(\forall x \in [a, b]\), \(f(x) = 0\).

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[ID: 1922] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 318
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41

Comme \(f\) est continue sur le segment \(\left[a,b\right]\), d’après le théorème fondamental, \(f\) admet une primitive \(F\) sur \(\left[a,b\right]\) s’annulant en \(a\) et donnée par : \(F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{ \;d}t\). Comme \(f\) est positive, la fonction \(F\) est croissante. Mais d’après l’hypothèse \(F\left(b\right)=\int_a^b f(t) \mathrm{ \;d}t = 0=F\left(a\right)\), donc \(F\) est nécessairement constante. On en déduit que \(f\) est identiquement nulle sur \(\left[a,b\right]\).

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