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Exercice 802
Soit \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction continue. Montrer que les fonctions \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) suivantes sont de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur un intervalle à déterminer et calculer leur dérivée en fonction de \(f\):
\(g(x)=\int_{2x}^{x^2} f(t)\,\textrm{d}t\)
\(g\left(x\right)=\int_{0}^{x^2} \mathop{\mathrm{sh}}t f\left(\mathop{\mathrm{ch}}t\right)\,\textrm{d}t\)
\(g(x)=\int_{0}^{x} f(t+x)\,\textrm{d}t\)
\(g(x)=\int_{1}^{x} \dfrac{f(\ln t)}{t}\,\textrm{d}t\)
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[ID: 1920] [Date de publication: 12 mai 2021 12:41] [Catégorie(s): Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 802
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:41
Comme \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), elle admet une primitive \(F\) sur \(\mathbb{R}\) d’après le théorème fondamental de l’analyse.
Pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(g(x)=F(x^2) - F(2x)\). La fonction \(g\) est donc de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et \(g'(x)=2xf(x^2)-2f(2x)\).
La fonction \(t\mapsto F\left(\mathop{\mathrm{ch}}t\right)\) est une primitive de \(t\mapsto \mathop{\mathrm{sh}}t f\left(\mathop{\mathrm{ch}}t\right)\) donc, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(g\left(x\right)=F\left(\mathop{\mathrm{ch}}\left(x^2\right)\right)-F\left(1\right)\). La fonction \(g\) est donc de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\). De plus pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(g'\left(x\right)=2x\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2\right)f\left(\mathop{\mathrm{ch}}\left(x^2\right)\right)\).
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(t\mapsto F\left(t+x\right)\) est une primitive de \(t\mapsto f\left(t+x\right)\) donc la fonction \(g\) donnée, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), par \(g\left(x\right)=F\left(2x\right)-F\left(x\right)\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions de \(\mathcal{C}^{1}\). De plus \(g'\left(x\right)=2f\left(2x\right)-f\left(x\right)\).
La fonction \(t\mapsto F\left(\ln t\right)\) est une primitive de \(t\mapsto \dfrac{f(\ln t)}{t}\) donc la fonction \(g\) donnée, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) par \(g\left(x\right)=F\left(\ln x\right)-F\left(0\right)\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) par opérations sur les fonctions \(\mathcal{C}^{1}\). De plus \(g'\left(x\right)=\dfrac{f\left(\ln x\right)}{x}\).
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