Déterminer l’intersection des droites \(D_1\) et \(D_2\) : \[D_1\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&2t-1 \\ y&=&-t+2 \end{array}\right. \;t\in\mathbb R\qquad D_2\;\left\lbrace \begin{array}{rcl} x&=&t+2 \\ y&=&3t+1 \end{array}\right.\;t\in\mathbb R\]


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[ID: 150] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 539
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28
  1. On prend deux paramètres distincts \(t\) et \(u\) et on égale les abscisses et ordonnées pour obtenir le système : \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-1&=&u+2 \\ -t+2&=&3u+1 \end{array}\right.\) d’où \(\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2t-u&=&3 \\ -t-3u&=&-1 \end{array}\right.\) d’où \(-7u = 1\) et \(u=-\dfrac17\). On en déduit \(u = -\dfrac17 + 2 = \dfrac{13}{7}\) et \(y = -\dfrac37 + 1 = \dfrac47\).

  2. \(\vec u(2,-1)\) est vecteur directeur de \(D_1\), donc \(\vec n(1,2)\) est vecteur normal de \(D_1\). Donc une équation cartésienne de \(D_1\) est \(x+2y = k\). \(k\) est déterminé en écrivant que (pour \(t=0\)) \(M(-1,2)\in D_1\) soit \(k= -1+2\times2 = 3\). Maintenant on traduit : un point de \(D_2\) vérifie cette équation de \(D_1\) : \(t+2 +2(3t+1) = 3\) soit \(t = -\dfrac17\) et on conclut comme ci-dessus.
    Moralité : L’intersection de deux objets géométriques se traite bien lorsqu’un est défini en paramétrique et l’autre par équation cartésienne.


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