Dans le repère canonique du plan, on considère deux points sur les axes \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a-\lambda \end{matrix}\right.}\). On note \(C\) le point tel que \((OACD)\) soit un rectangle. On note \(\mathcal{D}_{\lambda}\) la perpendiculaire à la droite \((AB)\) passant par \(C\). Montrer que la droite \(\mathcal{D}_{\lambda}\) passe par un point fixe à déterminer lorsque \(\lambda\) varie.

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[ID: 148] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 408
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 18:28

\(C \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ a-\lambda \end{matrix}\right.}\). Pour obtenir l’équation cartésienne de \(\mathcal{D}_{\lambda}\), on traduit \(\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BA} = 0\) et l’on trouve \[\mathcal{D}_{\lambda}~: \lambda x + (\lambda - a) y - 2a\lambda + a^2=0\] que l’on peut écrire comme un polynôme en \(\lambda\) : \[\lambda(x+y-2a) + (-ay+a^2)=0.\] En considérant le point \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) avec \(x\) et \(y\) qui annulent les deux coefficients de ce polynôme, on trouve le point fixe \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\a \end{matrix}\right.}}\).

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