On considère dans le plan euclidien un triangle isocèle \((ABC)\) avec \(AB = AC\). On considère un point \(D\) qui varie sur le segment \([AB]\) et un point \(E\) sur le segment \([BC]\) tels que \(\overline{D'E} = \dfrac{1}{2}\overline{BC}\)\(D'\) est le projeté orthogonal de \(D\) sur \((BC)\). Par le point \(E\), on mène la perpendiculaire à la droite \((DE)\). Montrer que cette droite passe par un point fixe \(I\).


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[ID: 146] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1023
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28

On choisit le repère orthonormé tel que \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\a \end{matrix}\right.}\), \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} -b\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} b\\0 \end{matrix}\right.}\). Notons \(D' \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda\\0 \end{matrix}\right.}\), on a alors \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda + b\\0 \end{matrix}\right.}\). On détermine l’équation cartésienne de la droite \((AB)\) : \(\boxed{ax-by+ab=0}\), les coordonnées du point \(D\) : \(\boxed{D \underset{}{\left|\begin{matrix} \lambda \\ \dfrac{a\lambda + ab}{2} \end{matrix}\right.}}\) puis l’équation cartésienne de la perpendiculaire en \(E\) : \(\boxed{-bx + \dfrac{a\lambda + ab}{b}y + b(\lambda + b) = 0}\). On peut voir cette équation comme un polynôme en \(\lambda~\): \[\boxed{ \lambda \bigl[b + \dfrac{ay}{b}\bigr] + \bigl[b(b-x)+ay\bigr] = 0 }\] Il suffit d’annuler le coefficient de \(\lambda\) et le coefficient constant pour voir que cette droite passe toujours par le point \(\boxed{I \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ -b^2/a \end{matrix}\right.}}\).


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