Dans le plan, on considère un triangle \((ABC)\) et on note \(I\) le milieu du segment \([BC]\). Une droite passant par \(I\) coupe les droites \((AB)\) en \(D\) et \((AC)\) en \(E\). Déterminer le lieu des points d’intersection des droites \((BE)\) et \((CD)\).


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[ID: 144] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 509
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28

On se place dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\). Danc ce repère

  1. le point \(I\) a comme coordonnées \(I \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 \\1/2 \end{matrix}\right.}\)

  2. la droite passant par \(D\) admet comme équation cartésienne : \((y-1/2) = \lambda (x - 1/2)\) avec \(\lambda \neq 0\) (puisque cette droite n’est pas parallèle à \((AB)\) ni à \((AC)\).

  3. les coordonnées des points \(D\) et \(E\) sont \(D \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2 - 1/2\lambda \end{matrix}\right.}\), \(E \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ 1/2 - \lambda /2 \end{matrix}\right.}\)

  4. la droite \((BE)\) admet comme équation cartésienne : \((1-\lambda) x + 2y = 1 - \lambda\)

  5. la droite \((CD)\) admet comme équation cartésienne : \(2\lambda x + (\lambda - 1)y = \lambda - 1\).

  6. l’intersection de ces deux droites est formée du point : \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \\ -\dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 - \dfrac{2}{\lambda + 1} \\ -1 + \dfrac{2}{\lambda + 1} \end{matrix}\right.}\) (les deux droites ne sont pas parallèles lorsque \(\lambda \neq - 1\)).

  7. Le point \(M\) est sur la droite d’équation \(x + y = 0\). L’application \(\lambda \mapsto \dfrac{\lambda - 1}{\lambda + 1}\) étant une bijection de \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) vers \(\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\), on trouve tous les points de cette droite sauf ceux d’abscisse \(1\) et \(-1\).


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