On considère dans le plan euclidien un triangle équilatéral \((ABC)\). On choisit un repère orthonormé d’origine le milieu de \([AB]\), avec le vecteur \(\overrightarrow{i} = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }}\) dans lequel \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\0 \end{matrix}\right.}\) et \(B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0 \end{matrix}\right.}\) avec \(a > 0\).

  1. Déterminer les coordonnées du point \(C\).

  2. Écrire les équations cartésiennes des droites \((AC)\) et \((BC)\).

  3. Montrer que si \(M\) est un point intérieur au triangle, la somme des distances de \(M\) à chaque côté du triangle est constante.

  4. Retrouver ce résultat en partitionnant le triangle \(ABC\) en trois triangles dont on déterminera les aires grâce au déterminant.


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[ID: 142] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:28] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans le plan ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 291
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:28
  1. Si \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ c \end{matrix}\right.}\), on calcule \(\lVert \overrightarrow{AC} \rVert_{ }^2 = c^2 + a^2\) qui doit valoir \(\lVert \overrightarrow{AB} \rVert_{ }^2 = 4a^2\) d’où l’on tire \(c = \sqrt{3}a\) et donc \(C \underset{}{\left|\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}a \end{matrix}\right.}\).

  2. Soit \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) un point de la droite \((AC)\). Il doit vérifier \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AC}) = 0\), d’où l’on tire \[\boxed{ (AC)~: \sqrt{3}a x - a y + \sqrt{3}a^2 = 0 }\] et de même \[\boxed{ (BC)~: \sqrt{3}a x + a y - \sqrt{3}a^2 = 0 }\]

  3. Soit un point \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y \end{matrix}\right.}\) intérieur au triangle. La distance de \(M\) à la droite \((AB)\) vaut \(y\) (\(y \geqslant 0\)). Appliquons la formule du cours pour calculer la distance de \(M\) à la droite \((AC)\) : \[d(M, AC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}a x - ay + \sqrt{3}a^2 \rvert } {\sqrt{3a^2 + a^2}} = \dfrac{\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}a}{2}\] On a utilisé que le point \(M\) était à droite de la droite \((AC)\) pour enlever la valeur absolue. De même, \[d(M, BC) = \dfrac{\lvert \sqrt{3}ax+ay-\sqrt{3}a^2 \rvert }{\sqrt{3a^2+a^2}} = \dfrac{-\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}a}{2}\] La somme des trois distances est constante et vaut \(\sqrt{3}a\).

  4. Si \(U\), \(V\) et \(W\) sont trois points du plan, on notera \(\mathscr A_{UVW}\) l’aire du triangle \(UVW\). On a : \[\begin{aligned} &&d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) \\ &=&\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|}+ \dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{BC}\right\|} +\dfrac{\left|\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CA}\right)\right|}{ \left\|\overrightarrow{CA}\right\|}\\ &=& \mathscr A_1 + \mathscr A_2+\mathscr A_3\end{aligned}\]\(\mathscr A_1\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\), \(\mathscr A_2\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{BM}\) et \(\overrightarrow{BC}\) et \(\mathscr A_3\) est l’aire du parallélogramme porté par les vecteurs \(\overrightarrow{CM}\) et \(\overrightarrow{CA}\). Mais \(\mathscr A_1=2\mathscr A_{MAB}\), \(\mathscr A_2=2\mathscr A_{MBC}\) et \(\mathscr A_3=2\mathscr A_{MCA}\). Donc : \[d\left(M,\left(AB\right)\right) + d\left(M,\left(BC\right)\right) + d\left(M,\left(CA\right)\right) = 2\left(\mathscr A_{MAB} +\mathscr A_{MBC}+ \mathscr A_{MCA} \right) = 2\mathscr A_{ABC}\] ce qui prouve que la somme des trois longueurs est constante.


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